Matematika érettségi feladatsor - középszint - 2019. május

A gyakorló feladatsor egy korábbi érettségi feladatlap interaktív változata. A szükséges számításokat, rajzokat papíron készítsd el! Megengedett segédeszközök: körző, vonalzó, négyjegyű függvénytáblázat, zsebszámológép (másodfokú egyenlet megoldásához, statisztikai lekérdezések esetén külön számolás nélkül használható az eszköz menüje - ha van ilyen).
Eredményes felkészülést!

1. feladat
Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!
$$x^2-2x-8=0$$

nincs valós megoldás

x1 = 2; x2 = -4

x1 = −2; x2 = 4

2. feladat
Egy háromszög belső szögeinek aránya 2:3:7. Hány fokos a háromszög legkisebb szöge?
A legkisebb szög °

3. feladat
Egy üdítőital címkéjén az olvasható, hogy egy pohár (250 ml) üdítő elfogyasztásával 12 g
cukrot viszünk a szervezetünkbe, és ez a mennyiség az ajánlott napi maximális
cukorbevitel 30%-a. Hány gramm az ajánlott napi maximális cukorbevitel?
Az ajánlott napi maximális cukorbevitel g.

4. feladat
Adottak a következő halmazok: A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}; B = {1; 4; 7; 10; 13; 16; 19}; C = {1; 2; 3; 5; 8; 13}. Elemei felsorolásával adja meg a C \ A és az (A ∪ B) ∩ C halmazt!

C \ A = {1; 8} és (A ∪ B) ∩ C = {1; 2; 3; 5; 13}

C \ A = {7; 11; 17; 19} és (A ∪ B) ∩ C = {1; 2; 3; 5; 13}

C \ A = {7; 11; 17; 19} és (A ∪ B) ∩ C = {1; 2; 3; 8; 19}

5. feladat
Egy ötpontú gráfnak 7 éle van. Mennyi a gráfban a csúcsok fokszámának összege?
A csúcsok fokszámának összege:

6. feladat
Négy gombóc fagylaltot vásárolunk tölcsérbe: egy csokoládét, egy vaníliát, egy puncsot
és egy eperízűt. Hányféle olyan sorrendje lehetséges ennek a négy gombócnak, amelynél
nem a csokoládé a legalsó?
féle ilyen sorrend lehetséges.

7. feladat
Az ABCDEF szabályos hatszögben b = AB és f = AF.
Fejezze ki a b és f vektorok segítségével az AD vektort!
AD = b+ f

8. feladat
Az alábbi hat szám közül válassza ki az összes olyan számot, amely osztható 3-mal, de nem osztható 5-tel!
895, 1222, 1458, 1526, 1848, 1990

1222, 1526

1458, 1526, 1848,

1458, 1848

9. feladat
Egy középület akadálymentesítésekor a bejárathoz egyenletesen
emelkedő rámpát építenek, hogy kerekesszékkel és babakocsival is be
lehessen jutni az épületbe. A rámpa hossza 3 méter, és a járda szintjétől 60 centiméter magasra visz.
Hány fokos a rámpa emelkedési szöge? Megoldását részletezze! Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!
A rámpa emelkedési szöge: ≈ °

10. feladat

Az f egyenes egyenlete 2x – y = 5.

a) Adja meg az f egy normálvektorát!

b) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely párhuzamos az f egyenessel, és átmegy a (2; 1) ponton!

a) (2; –1) és b) 2x + y = 3

a) (2; –1) és b) 2x – y = 3

a) (2; 1) és b) 2x – y = 3

11. feladat
Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja −12.
Számítsa ki a sorozat első tíz tagjának összegét! Megoldását részletezze!
S₁₀ =

12. feladat
A táblázat egy biológiadolgozat eredményeit mutatja. Adja meg az adathalmaz
móduszát és mediánját!
Módusz: , Medián:

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

a) Hány olyan háromjegyű egész szám van, amelyre igaz az alábbi egyenlőtlenség?
$$\frac{x}{3}+\frac{x}{6}\ge\frac{x}{4}+230$$
ilyen háromjegyű szám van.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

b) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!
$$3\cdot4^x+4^{x+1}=896$$
x = .

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Adott az f: R → R, $$f\left(x\right)=x^2+4x+3$$ függvény.
a) Írja fel két elsőfokú tényező szorzataként az $$x^2+4x+3$$ kifejezést!

(x - 1)(x + 3)

(x + 1)(x + 3)

(x - 1)(x - 3)

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

b) A P(–6,5; y) pont illeszkedik az $$f\left(x\right)=x^2+4x+3$$ grafikonjára. Számítsa ki y értékét!
y =

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

c) Az alábbi grafikonok közül válassza ki az $$f\left(x\right)=x^2+4x+3$$ függvény grafikonját!
A f függvény grafikonjának betűjele: .

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Határozza meg az $$f\left(x\right)=x^2+4x+3$$ függvény értékkészletét!

]–∞; ∞[

[–1; ∞[

[–1; ∞]

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Adott a g: R → R, $$g\left(x\right)=x^2-6x+5$$ függvény. Az a három pont, ahol a g grafikonja
metszi a koordinátatengelyeket, egy háromszöget határoz meg.
d) Határozza meg ennek a háromszögnek a területét!
A háromszög területe (területegység).

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Az ABCD négyzet oldalának hossza 12 egység. A négyzet belsejében
kijelöltük az E pontot úgy, hogy BE = CE = 12 egység legyen (lásd az
ábrát).
a) Számítsa ki az A és E pontok távolságát! Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg!
AE ≈

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy bronzból készült, szabályos négyoldalú gúla alakú tömör test (piramis) minden éle
10 cm hosszúságú.
b) Számítsa ki a gúla tömegét, ha 1 dm³
bronz tömege 8 kg! Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg!
A gúla tömege ≈ kg.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Péter elhatározza, hogy összegyűjt 3,5 millió Ft-ot egy használt elektromos autó vásárlására, mégpedig úgy, hogy havonta egyre több pénzt tesz félre a takarékszámláján. Az első hónapban 50 000 Ft-ot tesz félre, majd minden hónapban 1000 Ft-tal többet, mint az azt megelőző hónapban. (A számlán gyűjtött összeg kamatozásával Péter nem számol.) Döntese el, igaz vagy hamis a következő állítás!
a) Péter össze tud így gyűjteni 4 év alatt 3,5 millió forintot.

Igaz

Hamis

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A világon gyártott elektromos autók számának 2012 és 2017 közötti alakulását az alábbi táblázat mutatja.

b) Melyik oszlopdiagram szemlélteti a táblázat adatait?

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Péter az előző táblázat adatai alapján olyan matematikai modellt alkotott, amely az elektromos autók számát exponenciálisan növekedőnek tekinti. E szerint, ha a 2012 óta eltelt
évek száma x, akkor az elektromos autók számát (millió darabra) megközelítőleg az $$f\left(x\right)=0,122\cdot2^{0,822x}$$ összefüggés adja meg.
c) A modell alapján számolva melyik évben érheti el az elektromos autók száma a
25 millió darabot?
-ben éri el a 25 milliót.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy elektromos autókat gyártó cég öt különböző típusú autót gyárt. A készülő reklámfüzet fedőlapjára az ötféle típus közül egy vagy több (akár mind az öt) autótípus képét szeretné elhelyezni a grafikus.
d) Hány lehetőség közül választhat a tervezés során? (Két lehetőség különböző, ha az
egyikben szerepel olyan autótípus, amely a másikban nem.)
lehetőség közül választhat

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A Föld teljes vízkészlete (jég, víz és vízgőz) folyékony halmazállapotban közel 1400 millió km3
lenne. Ennek a vízkészletnek csupán 3%-a édesvíz, melynek valójában mindössze
20%-a folyékony halmazállapotú (a többi főleg a sarkvidék jégtakarójában található fagyott, szilárd állapotban).
a) Számítsa ki, hogy hány kilométer lenne annak a legkisebb gömbnek a sugara,
amelybe összegyűjthetnénk a Föld folyékony édesvízkészletét!
Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg!
(km)
lenne ennek a gömbnek a sugara.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Az ábrán egy környezetvédő szervezet logójának ki nem színezett
terve látható. A logó kilenc tartományát három színnel (sárga, kék és
zöld) szeretnénk kiszínezni úgy, hogy a szomszédos tartományok különböző színűek legyenek. (Két tartomány szomszédos, ha a határvonalaiknak van közös pontja. Egy-egy tartomány színezéséhez egy színt
használhatunk.)
b) Hányféleképpen lehet a logót a feltételeknek megfelelően kiszínezni?
A lehetséges színezések száma .

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy iskolai italautomata meghibásodott, és véletlenszerűen ad szénsavas, illetve szénsavmentes vizet. A diákok tapasztalata szerint, ha valaki szénsavmentes vizet kér, akkor csak 0,8 a valószínűsége annak, hogy valóban szénsavmentes vizet kap. Anna a hét mind az öt munkanapján egy-egy szénsavmentes vizet szeretne vásárolni az automatából, így minden nap az ennek megfelelő gombot nyomja meg.
c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább négy napon valóban szénsavmentes vizet ad az automata?

a kérdéses valószínűség: 0,328

a kérdéses valószínűség: 0,410

a kérdéses valószínűség: 0,738

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Az ábrán egy kis múzeum alaprajzát látjuk. A múzeum termei közötti kapcsolatot gráffal is szemléltethetjük. A gráf pontjai a termek, élei pedig az átjárók a termek között. (Egy él egy átjárót szemléltet két terem között.)
a) Rajzolja fel a múzeum termeit és átjáróit szemléltető gráfot!

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A múzeumba háromféle belépőjegyet lehet váltani.
Januárban négyszer annyi kedvezményes belépőjegyet adtak el, mint teljes árú jegyet,
továbbá az eladott fotójegyek száma az eladott teljes árú jegyek számának 12,5%-a volt.
A múzeum belépőjegy-eladásból származó bevétele januárban 912 600 Ft volt.
b) Hány belépőjegyet adtak el januárban összesen?
Összesen jegyet adtak el.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Csilla, Dezső, Emese, Feri és Gyöngyi délelőtt 10-re beszéltek meg találkozót a múzeum
előtt. Sorban egymás után érkeznek (különböző időpontokban), véletlenszerűen.
c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb egy lánynak kell várakoznia fiúra?
A kérdéses valószínűség .

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A kiállításon több gondolkodtató, minimalista kép is szerepel. Dezső szerint az ábrán látható, csatlakozó félköröket ábrázoló kép címe azért „Egyenlőség”, mert a felső és az alsó görbe vonal hossza egyenlő. A felső görbét alkotó két egyforma félkör átmérőjének összege 48 cm. Az alsó görbét alkotó két félkör átmérőjének összege szintén 48 cm.
d) Igaz-e Dezső sejtése, hogy a két görbe vonal hossza egyenlő?

Igaz

Hamis

A foglalkozás befejeződött.