Matematika érettségi feladatsor - köszépszint - 2014. május

A gyakorló feladatsor egy korábbi érettségi feladatlap interaktív változata. A szükséges számításokat, rajzokat papíron készítsd el! Megengedett segédeszközök: körző, vonalzó, négyjegyű függvénytáblázat, zsebszámológép (másodfokú egyenlet megoldásához, statisztikai lekérdezések esetén külön számolás nélkül használható az eszköz menüje - ha van ilyen). Eredményes felkészülést!

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Legyen A halmaz a 8-nál nem nagyobb pozitív egész számok halmaza, B pedig a 3-mal
osztható egyjegyű pozitív egész számok halmaza.
Elemeinek felsorolásával adja meg az A, a B, az A ∩ B és az A \ B halmazt!

A = { ; ; ; ; ; ; ; } és B = { ; ; }

A ∩ B = { ; } és A \ B = { ; ; ; ; ; }

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Egy konzerv tömege a konzervdobozzal együtt 750 gramm. A konzervdoboz tömege a
teljes tömeg 12%-a.
Hány gramm a konzerv tartalma?

A konzerv tartalma (gramm).

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $$\left(x-3\right)^2+2x=14$$ . Válaszát indokolja!

Az egyenlet megoldásai: x1 = x2 = 3

Az egyenlet megoldásai: x1 = 5 és x2 = -1

Az egyenlet megoldásai: x1 = - 5 és x2 = 1

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Válassza ki az f függvény hozzárendelési szabályát az alábbi lehetőségek közül úgy, hogy az megfeleljen az alábbi értéktáblázatnak:

$$f\left(x\right)=-x^2$$

$$f\left(x\right)=-2x$$

$$f\left(x\right)=2x^{ }$$

$$f\left(x\right)=x^2$$

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Egy osztályban 25-en tanulnak angolul, 17-en tanulnak németül. E két nyelv közül legalább az egyiket mindenki tanulja.
Hányan tanulják mindkét nyelvet, ha az osztály létszáma 30?

Mindkét nyelvet diák tanulja.

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Egy termék árát az egyik hónapban 20%-kal, majd a következő hónapban újabb 20%-kal
megemelték. A két áremelés együttesen hány százalékos áremelésnek felel meg?
Válaszát indokolja!

Ez %-os áremelésnek felel meg.

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Melyik számjegy állhat a 2582X ötjegyű számban az X helyén, ha a szám osztható 3-mal? Válaszát indokolja!

X lehetséges értékei: 3; 6; 9

X lehetséges értékei: 1; 4; 7

X lehetséges értékei: 2; 5; 8

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Az ábrán a [–1; 5] intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát!

- |x - 3| + 1

- |x - 3| - 1

|x - 3| + 1

- |x + 3| + 1

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Adja meg az x értékét, ha $$\log_2\left(x+1\right)=5$$ .
x = .

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Egy irodai számítógép-hálózat hat gépből áll. Mindegyik gép ezek közül három másikkal van közvetlenül összekötve. Válassza ki azt a gráfot, amely ezt a hálózatot szemlélteti!

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Egy téglalap szomszédos oldalainak hossza 4,2 cm és 5,6 cm.
Mekkora a téglalap körülírt körének sugara? Válaszát indokolja!

A körülírt kör sugara r = (cm).

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Egy kalapban 3 piros, 4 kék és 5 zöld golyó van. Találomra kihúzunk a kalapból egy golyót. Adja meg annak valószínűségét, hogy a kihúzott golyó nem piros!

$$\frac{9}{12}=0,75$$

$$\frac{3}{9}=0,33333$$

$$\frac{3}{12}=0,25$$

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

13. Adott az A(5; 2) és a B(–3; –2) pont.

a) Számítással igazolja, hogy az A és B pontok illeszkednek az x – 2y = 1 egyenletű e egyenesre!
b) Írja fel az AB átmérőjű kör egyenletét! Válassza ki a megfelelő egyenletet!

$$\left(x+1\right)^2+y^2=20$$

$$\left(x-1\right)^2+y^2=20$$

$$\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=20$$

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

c) Írja fel annak az f egyenesnek az egyenletét, amely az AB átmérőjű kört a B pontban érinti!
Válassza ki a megfelelő egyenletet!

4x + 8y = 32

8x + 4y = -32

4x + y = 32

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

a) Egy háromszög oldalainak hossza 5 cm, 7 cm és 8 cm.
Mekkora a háromszög 7 cm-es oldalával szemközti szöge?
A keresett szög: α = º.

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

Oldja meg a [0; 2π] intervallumon a következő egyenletet: $$\cos x^2=\frac{1}{4}$$ (x ∈ R).

Az egyenlet megoldása $$x=\frac{2\pi}{3}$$ és $$x=\frac{4\pi}{3}$$

Az egyenlet megoldása $$x=\frac{2\pi}{4}$$ és $$x=\frac{3\pi}{4}$$

Az egyenlet megoldása $$x=\frac{2\pi}{6}$$ és $$x=\frac{4\pi}{6}$$

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

Adja meg az alábbi állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)!

Az f: R → R, f (x) = sin x függvény páratlan függvény.

Igaz

Hamis

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

Adja meg az alábbi állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)!

A g: R → R, g(x) = cos2x függvény értékkészlete a [–2; 2] zárt intervallum.

Igaz

Hamis

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

Adja meg az alábbi állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)!

A h: R → R, h(x) = cos x függvény szigorúan monoton növekszik a $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$ intervallumon.

Igaz

Hamis

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

a) Egy számtani sorozat első tagja 5, differenciája 3. A sorozat első n tagjának összege
440. Adja meg n értékét!
n =

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

b) Egy mértani sorozat első tagja 5, hányadosa 1,2. Az első tagtól kezdve legalább
hány tagot kell összeadni ebben a sorozatban, hogy az összeg elérje az 500-at?

A sorozatnak legalább tagját
kell összeadni, hogy az összeg elérje az 500-at.

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

A vízi élőhelyek egyik nagy problémája az algásodás. Megfelelő fény- és hőmérsékleti viszonyok mellett az algával borított terület nagysága akár 1-2 nap alatt megduplázódhat.

a) Egy kerti tóban minden nap (az előző napi mennyiséghez képest) ugyanannyiszorosára növekedett az algával borított terület nagysága. A kezdetben 1,5 m²
-en
észlelhető alga hét napi növekedés után borította be teljesen a 27 m²
-es tavat.
Számítsa ki, hogy naponta hányszorosára növekedett az algás terület!
Az algás terület naponta körülbelül az -szeresére
növekedett.

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

Egy parkbeli szökőkút medencéjének alakja szabályos hatszög alapú egyenes hasáb.
A szabályos hatszög egy oldala 2,4 m hosszú, a medence mélysége 0,4 m. A medence
alját és oldalfalait csempével burkolták, majd a medencét teljesen feltöltötték vízzel.

b) Hány m²
területű a csempével burkolt felület, és legfeljebb hány liter víz fér el a
medencében egészre kerekítve?
Körülbelül liter víz fér el a medencében.

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

A szökőkútban hat egymás mellett, egy vonalban elhelyezett kiömlő nyíláson keresztül
törhet a magasba a víz. Minden vízsugarat egy-egy színes lámpa világít meg. Mindegyik vízsugár megvilágítása háromféle színű lehet: kék, piros vagy sárga.
Az egyik látványprogram úgy változtatja a vízsugarak megvilágítását, hogy egy adott
pillanatban három-három vízsugár színe azonos legyen, de mind a hat ne legyen azonos
színű (például kék-sárga-sárga-kék-sárga-kék).

c) Hányféle különböző látványt nyújthat ez a program, ha a vízsugaraknak csak a színe
változik?
különböző megvilágítás lehetséges.

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

Kóstolóval egybekötött termékbemutatót tartottak egy új kávékeverék piaci megjelenését megelőzően. Két csoport véleményét kérték úgy, hogy a terméket az 1-től 10-ig terjedő skálán mindenkinek egy-egy egész számmal kellett értékelnie. Mindkét csoport létszáma 20 fő volt. A csoportok értékelése a táblázatban látható.

a) Ábrázolja közös oszlopdiagramon, különböző jelölésű oszlopokkal a két csoport pontszámait! A diagramok alapján fogalmazzon meg véleményt arra vonatkozóan, hogy melyik csoportban volt nagyobb a pontszámok szórása! Véleményét a diagramok alapján indokolja is!

b) Hasonlítsa össze a két csoport pontszámainak szórását számítások segítségével is!

A 2. csoportban volt nagyobb a szórás.

Az 1. csoportban volt nagyobb a szórás.

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

Kétféle kávéból 14 kg 4600 Ft/kg egységárú kávékeveréket állítanak elő. Az olcsóbb
kávéfajta egységára 4500 Ft/kg, a drágábbé pedig 5000 Ft/kg.

c) Hány kilogramm szükséges az egyik, illetve a másik fajta kávéból?

Az olcsóbb fajtából kg,
a drágább fajtából kg szükséges a keverékhez.

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

András és Péter „számkártyázik” egymással. A játék kezdetén mindkét fiúnál hat-hat
lap van: az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számkártya. Egy mérkőzés hat csata megvívását jelenti, egy
csata pedig abból áll, hogy András és Péter egyszerre helyez el az asztalon egy-egy
számkártyát. A csatát az nyeri, aki a nagyobb értékű kártyát tette le. A nyertes elviszi
mindkét kijátszott lapot. (Például ha András a 4-est, Péter a 2-est teszi le, akkor András
viszi el ezt a két lapot.) Ha ugyanaz a szám szerepel a két kijátszott számkártyán, akkor
a csata döntetlenre végződik. Ekkor mindketten egy-egy kártyát visznek el. Az elvitt
kártyákat a játékosok maguk előtt helyezik el, ezeket a továbbiakban már nem játsszák
ki.

a) Hány kártya van Péter előtt az első mérkőzés után, ha András az 1, 2, 3, 4, 5, 6,
Péter pedig a 2, 4, 5, 3, 1, 6 sorrendben játszotta ki a lapjait?

Péter előtt összesen kártya van az első mérkőzés után

Ha elakadnál a megoldással, a linken elérhető videóból kaphatsz ötletet.

A második mérkőzés során Péter az 1, 2, 3, 4, 5, 6 sorrendben játszotta ki a lapjait, és így összesen két lapot vitt el.

b) Adjon meg egy lehetséges sorrendet, amelyben András kijátszhatta lapjait!

Péter lapjainak lehetséges sorrendje: 2, 1, 3, 6, 4, 5

Péter lapjainak lehetséges sorrendje: 2, 3, 4, 5, 6, 1

Péter lapjainak lehetséges sorrendje: 6, 1, 2, 3, 4, 5

A foglalkozás befejeződött.