Matematika érettségi feladatsor - emelt szint - 2022. május

A gyakorló feladatsor egy korábbi érettségi feladatlap interaktív változata.

A szükséges számításokat, rajzokat papíron készítsd el! Megengedett segédeszközök: körző, vonalzó, négyjegyű függvénytáblázat, zsebszámológép (másodfokú egyenlet megoldásához, statisztikai lekérdezések esetén külön számolás nélkül használható az eszköz menüje - ha van ilyen).

Eredményes felkészülést!

Az érettségi vizsgán a feladatok megoldására 240 perc fordítható

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket!
a) $$9^{x+1}+15\cdot3^x=6$$

x = –1 és x=-2

x = –1

x=-2 és $$x=\frac{1}{3}$$

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet!
b) $$\frac{1}{4}\sin x\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{1}{8}=0$$

$$x=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi$$ és $$x=\frac{7\pi}{12}+k\cdot\pi$$, ahol k\[\epsilon\]Q

$$x=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi$$ és $$x=\frac{7\pi}{12}+k\cdot\pi$$, ahol k\[\epsilon\]Z

$$x=\frac{\pi}{2}+2k\cdot\pi$$ és $$x=\frac{7\pi}{6}+2k\cdot\pi$$, ahol k\[\epsilon\]Z

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

b) Egy mértani sorozat első és második tagjának összege 6, harmadik és negyedik tagjának összege pedig 96. Adja meg a sorozat első tagját és hányadosát!

a = \[\frac{1}{2}\] és q = 8

a = \[\frac{6}{5}\] és q = 4

a = \[\frac{6}{5}\] és q = 8

a =-2 és q = -4

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

a) Egy számtani sorozat első tagja 5, differenciája 3, az első n tag összege pedig 4900. Határozza meg n értékét!

n = 56 és n = -58

n = 56 és n = 58

n = 56 és n = -58,3

n = 56

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy társasházban 50-en laknak. A lakók 38%-a nő, 32%-a szemüveges.
a) Legalább, illetve legfeljebb hányan lehetnek a lakók között a nem szemüveges férfiak?
Legfeljebb nem szemüveges férfi lehet, legalább nem szemüveges férfi van

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A társasház kertje egy 15 méter hosszú, 10 méter széles téglalap alakú földterület, amely az egyik átlója mentén ketté van osztva: az egyik fele füvesítve van, a másik felén virágágyás található. A füvesített rész derékszögű csúcsában van egy öntöző, amely egy 10 méter sugarú negyedkör alakú területet locsol a kertben.
b) Mekkora az a füvesített terület, amelyet nem ér el az öntöző? Válaszát 1 tidezedjegyre kerekítve adja meg!
A locsolásból kimaradó füvesített terület nagysága: m²
.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy biliárdgolyó készletben található 9 golyó tömegére a következő mérési eredményeket kapták (grammban): 163, 163, 163, 163, 163, 164, 165, 166, 166. Egy ilyen készletet akkor hitelesítenek a minőségellenőrzésen, ha az alábbi feltételek mindegyikének megfelel:
• minden golyó tömege legalább 160 gramm és legfeljebb 170 gramm;
• a golyók tömegének terjedelme legfeljebb 3 gramm;
• a golyók tömegének szórása legfeljebb 1 gramm.
a) A készlet hitelesíthető. A választ számolással igazolni kell.

Igaz

Hamis

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy dobozban 3 piros és 7 kék golyó található.
b) Kihúzunk a dobozból egymás után két golyót úgy, hogy az elsőként kihúzott golyót a húzás után nem tesszük vissza. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a kihúzott két golyó között lesz piros!

A keresett valószínűség ≈ 0,47.

A keresett valószínűség ≈ 0,533.

A keresett valószínűség ≈ 0,5.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy dobozban 3 piros és 7 kék golyó található.
c) Kihúzunk a 10 golyó közül egymás után három golyót úgy, hogy a kihúzott golyót a következő húzás előtt mindig visszatesszük. Legyen az A esemény az, hogy a kihúzott három golyó közül pontosan kettő piros, a B esemény pedig az, hogy a kihúzott golyók között van piros. Határozza meg a P(A|B) valószínűséget!

P(A|B) ≈ 0,432

P(A|B) ≈ 0,288

P(A|B) ≈ 0,712

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Lali, Pali és Vali egy palacsintázóban ebédelnek. Lali 3 mogyorókrémes, 1 túrós és 2 fahéjas palacsintáért 1500 Ft-ot, Pali 4 mogyorókrémes, 2 túrós és 1 fahéjas palacsintáért 1740 Ft-ot, Vali pedig 1 mogyorókrémes, 2 túrós és 2 fahéjas palacsintáért 1170 Ft-ot fizetett.
a) Mennyibe kerül 1-1 darab a különböző fajta palacsintákból?

Egy mogyorókrémes palacsinta 240 Ft, egy túrós 2t0 Ft, egy fahéjas pedig 210 Ft.

Egy mogyorókrémes palacsinta 210 Ft, egy túrós 240 Ft, egy fahéjas pedig 270 Ft.

Egy mogyorókrémes palacsinta 270 Ft, egy túrós 240 Ft, egy fahéjas pedig 210 Ft.

Egy mogyorókrémes palacsinta 270 Ft, egy túrós 210 Ft, egy fahéjas pedig 240 Ft.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Lali vesz még egy lekváros palacsintát 210 Ft-ért. Lali zsebében 100, 50, 20, 10 és 5 Ft-os érmék vannak, mindegyikből több is. Ezek közül 6 érmét választ ki.
b) Igaz-e, hogy 6 érmével három különböző módon fizethető ki 210 Ft! (Két fizetést különbözőnek tekintünk, ha legalább az egyik címletű érméből eltérő számút használunk fel a két fizetés során.)

Igaz

Hamis

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Lali vesz még egy lekváros palacsintát 210 Ft-ért. Lali zsebében 100, 50, 20, 10 és 5 Ft-os
érmék vannak, mindegyikből több is. Ezek közül 6 érmét választ ki.
c) Hányféle sorrendben vehet elő Lali 6 olyan érmét a zsebéből, amelyek összege
210 Ft, ha egyesével húzza elő őket? (Az azonos címletű érméket nem különböztetjük meg egymástól.)
Összesen sorrend lehetséges.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy egyenlőszárú háromszög csúcsai a derékszögű koordináta-rendszerben A(0; 0), B(82; 0) és C(41; 71). Géza szerint ez a háromszög szabályos.
a) Határozza meg a háromszög szögeit fokban, négy tizedesjegyre kerekítve!

α ≈ 59,9951°, β ≈ 59,9951°, γ = 60,0098°.

α ≈ 60,0000°, β ≈ 60,0000°, γ = 60,0000°.

α ≈ 59,995°, β ≈ 59,995°, γ = 60,01°.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy egyenlőszárú háromszög csúcsai a derékszögű koordináta-rendszerben A(0; 0), B(82; 0) és C(41; 71). Géza szerint ez a háromszög szabályos.
b) Határozza meg a háromszög AC és AB oldalainak arányát négy tizedesjegyre kerekítve!

Az arány 1,0000.

Az arány 0,9999.

Az arány 0,9997.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy csonkakúp alapkörének sugara 14 cm, fedőkörének sugara 8 cm, alkotója 10 cm hosszú. Géza szeretné gyorsan megbecsülni a csonkakúp térfogatát, ezért azt egy henger térfogatával közelíti. A közelítő henger alapkörének sugara megegyezik a csonkakúp alap- és fedőköre sugarának számtani közepével, magassága pedig egyenlő a csonkakúp magasságával.
c) Határozza meg Géza közelítésének relatív hibáját, 1 tizedesjegyre kerekítve! (Relatív hibának nevezzük a közelítő értéknek a pontos értéktől mért százalékos eltérését.)

A relatív hiba 2,4%.

A relatív hiba –2%.

A relatív hiba –2,4%.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Flóra kétfajta lisztből süt kenyeret. A kenyérhez a recept alapján 5:4 arányban kell búzaliszt és rozsliszt. Eredetileg 450 gramm búzalisztet és 400 gramm rozslisztet kevert össze,
de további, összesen 500 gramm liszt hozzáadásával sikerült elérnie a recept által előírt
arányt.
a) A hozzáadott 500 gramm lisztből hány gramm volt a búzaliszt?
A hozzáadott lisztből gramm
volt a búzaliszt.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Ha egy cég x tonna lisztet állít elő egy nap alatt (0 < x < 5), és ezt a mennyiséget el is adja, akkor egy elemzés szerint a napi nyereség értékét az $$n\left(x\right)=0,8x^2\left(x-3\right)\left(1,5-x\right)$$ képlet adja meg, a nyereséget tízezer tallérban számítva. (Negatív helyettesítési érték veszteséget jelent.)
b) Válassza ki, milyen x érték esetén nyereséges a napi termelés!

Akkor van nyereség, ha a 1,5 < x < 3

Akkor van nyereség, ha a 0

Akkor van nyereség, ha a x<1,5 vagy x < 3

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A legnagyobb elérhető napi nyereség tehát körülbelül kb. 2,46 tonna liszt előállításával és eladásával érhető el.

A legnagyobb elérhető napi nyereség tehát körülbelül kb. 3,24 tonna liszt előállításával és eladásával érhető el.

A legnagyobb elérhető napi nyereség tehát körülbelül kb. 2 tonna liszt előállításával és eladásával érhető el.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy baráti összejövetelen 7 fiú és 5 lány vett részt, találkozáskor mindenki üdvözölte a
többieket. A fiúk kézfogással köszöntek egymásnak, két lány, illetve egy fiú és egy lány
pedig öleléssel köszöntötte egymást.
a) Hány olyan találkozás volt, ahol öleléssel köszöntötték egymást?
találkozásnál volt ölelés.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy hatfős baráti társaság tagjai András, Bori, Csaba, Dóra, Ervin és Fanni bajnokságon döntik el, hogy ki a legjobb pingpongos közülük. Mindenki mindenki ellen egy mérkőzést játszik. Amikor 9 mérkőzést már lejátszottak, akkor kiderült, hogy mindegyikük páratlan számú mérkőzésen van túl. András az eddigi egyetlen meccsét Bori ellen játszotta, Csaba még nem játszott Ervin ellen.
b) Igaz-e, hogy Dóra már játszott Fanni ellen?

Igaz

Hamis

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

András, Bori, Csaba és Dóra egy szabályos dobókockával dobnak egyet-egyet, és az nyer, aki a legnagyobb olyan számot dobta, amit a többiek nem dobtak (például 6, 6, 4, 1 dobások esetén a 4-est dobó játékos nyer). Ha nincs ilyen szám, akkor nem nyer senki. Bori 5-öst dobott, a többiek ezután fognak dobni.
c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy Bori nyer?

A kérdezett valószínűség: ≈ 0,644.

A kérdezett valószínűség: ≈ 0,356.

A kérdezett valószínűség: ≈ 0,4.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Adott az $$x^2+2y=16$$ egyenletű parabola és az $$x^2+\left(y-3\right)^2=9$$ egyenletű kör.
a) Határozza meg a parabola fókuszpontjának és a kör középpontjának a koordinátáit!

A parabola fókuszpontja (0; 7,5), a kör középpontja a C(0; -3) pont.

A parabola fókuszpontja (0; 7,5), a kör középpontja a C(0; 3) pont.

A parabola fókuszpontja (0; -7,5), a kör középpontja a C(0; -3) pont.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Adott az $$x^2+2y=16$$ egyenletű parabola és az $$x^2+\left(y-3\right)^2=9$$ egyenletű kör.
b) Igaz-e, hogy a Q(2 2; 4) pont a parabolának és a körnek is pontja, és a kör Q-ban húzott érintője érinti a parabolát is!

Hamis

Igaz

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Adott az $$x^2+2y=16$$ egyenletű parabola és az $$x^2+\left(y-3\right)^2=9$$ egyenletű kör.
c) Határozza meg a parabola és az x tengely által közrezárt korlátos síkidom területét!

A síkidom területe: $$\frac{64}{3}$$ terület egység.

A síkidom területe: $$\frac{128}{3}$$ terület egység.

A síkidom területe: $$\frac{28}{3}$$ terület egység.

A foglalkozás befejeződött.