Matematika érettségi feladatsor - középszint - 2020. október

A gyakorló feladatsor egy korábbi érettségi feladatlap interaktív változata. A szükséges számításokat, rajzokat papíron készítsd el! Megengedett segédeszközök: körző, vonalzó, négyjegyű függvénytáblázat, zsebszámológép (másodfokú egyenlet megoldásához, statisztikai lekérdezések esetén külön számolás nélkül használható az eszköz menüje - ha van ilyen).
Eredményes felkészülést!

1. feladat
Adottak a következő halmazok: A = {1; 3; 6; 10; 15}; B = {1; 4; 10; 20}. Elemei felsorolásával adja meg az A∩ B és az A\ B halmazt!

A∩ B = {1; 10} és A\ B = {4; 20}

A∩ B = {1; 10} és A\ B = {3; 6; 15}

A∩ B = {1; 3; 4; 6; 10; 15; 20} és A\ B = {3; 6; 15}

2. feladat
Anna öt napon át egy 200 méter hosszú futókörre jár futni. Az első nap 5 kört fut, majd a
második naptól kezdve minden nap 1 körrel többet fut, mint az előző napon.
Hány métert fut Anna összesen az öt nap alatt?
Összesen métert fut az öt nap
alatt.

3. feladat
Milyen számjegyet írjunk az x helyére, hogy a \[\overline{202x}\] négyjegyű szám osztható legyen
12-vel?
x =

4. feladat
Az alábbi számok közül melyik az, amelyik a 2¹⁰⁰ szám kétszeresével egyenlő?

\[2^{200}\]

\[2^{102}\]

\[4^{100}\]

\[2^{101}\]

5. feladat
Az egyik héten a következő számokat húzták ki az ötös lottón: 16, 24, 36, 54, 81. Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)!
A: A héten kihúzott öt lottószám mindegyike osztható 3-mal.

Hamis

Igaz

Az egyik héten a következő számokat húzták ki az ötös lottón: 16, 24, 36, 54, 81. Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)!
B: A héten kihúzott öt lottószám közül három négyzetszám.

Igaz

Hamis

Az egyik héten a következő számokat húzták ki az ötös lottón: 16, 24, 36, 54, 81. Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)!
C: A héten kihúzott öt lottószám tekinthető egy mértani sorozat első öt tagjának

Hamis

Igaz

6. feladat
Adott a valós számok halmazán értelmezett f függvény: $$f\left(x\right)=10^{\frac{x}{4}}$$ .
a) Határozza meg $$f\left(12\right)$$ értékét! f(12) =
b) Adja meg azt az x valós számot, amelyre $$f\left(x\right)=100$$ . x = .

7. feladat
Egy 15 000 Ft-os termék árát a kereskedő október végén 25%-kal felemelte.
Hány százalékos „kedvezménnyel” adja a terméket a november végi leárazáskor, ha
ekkor újra 15 000 Ft-os áron hirdeti?
Megoldását részletezze!
%-os kedvezménnyel adja a terméket a kereskedő november végén.

8. feladat
Egy b élhosszúságú kocka felszíne 13,5 cm²
.
Mekkora a felszíne egy 2b élhosszúságú kockának?
Megoldását részletezze!
A felszíne cm²
.

9. feladat
Hány különböző hatjegyű szám készíthető két darab 2-es és négy darab 4-es számjegy
felhasználásával?
db különböző hatjegyű szám készíthető.

10. feladat
Adott a [–2; 2] zárt intervallumon értelmezett x ↦ x² – 1 függvény.
a) Határozza meg a függvény értékkészletét!
b) Adja meg a függvény zérushelyeit!

értékkészlet: [–1; 3]

zérushelyei: 1 és 3

értékkészlet: [0; 2]

zérushelyei: –1 és 2

értékkészlet: ]–1; 3[

zérushelyei: –1 és 1

11. feladat
Négy osztálytárs megmérte, hogy hány perc alatt érnek be kedden reggel az iskolába.
A kapott adatok: 38, 30, 26, 26.
Számítsa ki az időtartamok átlagát és szórását!
Az átlag: (perc).
A szórás 1 tizedesjegyre kerekítve: (perc)

12. feladat
Két szabályos dobókockával egyszerre dobva mennyi annak a valószínűsége, hogy két különböző számot dobunk?

A kérdéses valószínűség: $\frac{1}{6}$

A kérdéses valószínűség: $\frac{5}{6}$

A kérdéses valószínűség: $\frac{1}{2}$

A kérdéses valószínűség: $\frac{1}{6}$

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

a) Gondoltam egy számra. A szám feléből kivontam 5-öt, a különbséget megszoroztam
4-gyel, majd az így kapott számhoz hozzáadtam 8-at. Így éppen az eredeti számot
kaptam eredményül. Melyik számra gondoltam?
A gondolt szám
a .

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

b) Egy számtani sorozat tizedik tagja 18, harmincadik tagja 48. Adja meg a sorozat
első tagját és differenciáját!
a₁ = és d = .

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Az ABC derékszögű háromszög BC befogójának hossza 40 cm, AB átfogójának hossza
41 cm.
a) Mekkora a háromszög területe? Válaszát dm²-ben adja meg!
A háromszög területe dm²
.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Az ABC derékszögű háromszög BC befogójának hossza 40 cm, AB átfogójának hossza 41 cm.
b) Mekkorák a háromszög hegyesszögei?

\[\alpha\] = 54,48° és \[\beta\] = 35,52°

\[\alpha\] = 60° és \[\beta\] = 30°

\[\alpha\] = 77,32° és \[\beta\] = 12,68°

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Az ABC derékszögű háromszög BC befogójának hossza 40 cm, AB átfogójának hossza
41 cm.
c) Mekkora a háromszög köré írt kör kerülete? Válaszát egész centiméterre kerekítve
adja meg!
A kör kerülete ≈ cm

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy klímakutató a globális éves középhőmérséklet alakulását vizsgálja. Rendelkezésére
állnak a Föld évenkénti középhőmérsékleti adatai 1900-tól kezdve. A kutató az adatok
alapján az alábbi f függvénnyel modellezi az éves középhőmérséklet alakulását:
f(x) = 0,0001x²– 0,0063x + 15,2.

A képletben x az 1900 óta eltelt évek számát, f(x) pedig az adott év középhőmérsékletét
jelöli Celsius-fokban (0 ≤ x ≤ 119).

a) Számítsa ki, hogy a modell szerint 2018-ban hány fokkal volt magasabb az éves
középhőmérséklet, mint 1998-ban! Válaszát 1 tizedesjegyre kerekítve adja meg!

2018-ban ≈ Celsius-fokkal volt magasabb az éves középhőmérséklet, mint 1998-ban.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy klímakutató a globális éves középhőmérséklet alakulását vizsgálja. Rendelkezésére állnak a Föld évenkénti középhőmérsékleti adatai 1900-tól kezdve. A kutató az adatok alapján az alábbi f függvénnyel modellezi az éves középhőmérséklet alakulását:
f(x) = 0,0001x² – 0,0063x + 15,2.
A képletben x az 1900 óta eltelt évek számát, f(x) pedig az adott év középhőmérsékletét jelöli Celsius-fokban
(0 ≤ x ≤ 119).
b) Melyik évben volt az éves középhőmérséklet 15,42 °C?

1986

1988

1987

1989

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A kutató (a 2000 óta mért adatok alapján tett) egyik feltételezése szerint 2018 utáni néhány évtizedben a globális éves középhőmérséklet alakulását a következő függvénnyel
lehet előre jelezni:
g(t) = 15,92· 1,002t
.
Ebben a képletben t a 2018 óta eltelt évek számát, g(t) pedig az adott év becsült középhőmérsékletét jelöli Celsius-fokban (0 ≤ t).
c) Ezt a modellt alkalmazva számítsa ki, hogy melyik évben lesz az éves középhőmérséklet 16,7 °C!

-ben lesz a modell alapján az éves középhőmérséklet 16,7 °C.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A Föld Nap körüli pályájának hossza kb. 939 millió km. A Föld egy teljes Nap körüli
„kört” kb. 365,25 nap alatt tesz meg.
a) Számítsa ki egészre kerekítve, hogy hány km/h a Föld átlagsebessége egy teljes kör megtétele során!
≈ km/h.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A Naprendszer Naptól legtávolabbi bolygója a Neptunusz, mely kb. 4,2 fényóra távolságra van a Naptól. A fényóra az a távolság, melyet a fény egy óra alatt megtesz.
b) Számítsa ki a Neptunusz kilométerben mért távolságát a Naptól! Válaszát normálalakban adja meg! (A fény egy másodperc alatt kb. 300 000 km-t tesz meg.)

A Neptunusz km-ben mért távolsága a Naptól ≈ 4,4 ⋅ \[10^8\].

A Neptunusz km-ben mért távolsága a Naptól ≈ 3,8 ⋅ \[10^7\].

A Neptunusz km-ben mért távolsága a Naptól ≈ 4,5 ⋅ \[10^9\].

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A Naprendszer bolygói: Merkúr, Vénusz, Föld, Mars, Jupiter, Szaturnusz, Uránusz és Neptunusz. Egy földrajzdolgozatban a Naptól való távolságuk sorrendjében kell megadni a bolygókat. Judit csak abban biztos, hogy a Föld a harmadik a sorban, a Neptunusz pedig a legutolsó. Ezeket helyesen írja a megfelelő helyre. Emlékszik még arra is, hogy a Naphoz a Merkúr és a Vénusz van a legközelebb, de a sorrendjüket nem tudja, így e két bolygó sorrendjére is csak tippel. Végül a többi négy bolygó nevét véletlenszerűen írja be a megmaradt helyekre.
c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy Judit éppen a helyes sorrendben adja meg a bolygókat!

A kérdezett valószínűség ≈ 0,32.

A kérdezett valószínűség ≈ 0,21.

A kérdezett valószínűség ≈ 0,032.

A kérdezett valószínűség ≈ 0,021.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A nyolc bolygó nevét egy-egy cédulára felírjuk, és ezeket beletesszük egy kalapba. Kétszer húzunk a kalapból véletlenszerűen egy-egy cédulát.

d) Visszatevéses vagy visszatevés nélküli húzás esetén nagyobb a valószínűsége annak, hogy legalább az egyik kihúzott cédulán a Föld neve szerepel? (Visszatevéses húzás esetén az először húzott cédulát a második húzás előtt visszatesszük, visszatevés nélküli húzás esetén nem tesszük vissza.)

Visszatevés nélküli húzás esetén nagyobb a valószínűség

Visszatevéses húzás esetén nagyobb a valószínűség

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Tekintsük az A, B, C, D és E pontokat egy gráf csúcsainak.
a) Egészítse ki élekkel a fenti ábrát úgy, hogy a kapott gráfban minden csúcs fokszáma 2 vagy 3 legyen! Válassza ki a jó megoldást!

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

b) Lehet olyan 5 csúcsú gráfot rajzolni, amelyben minden csúcs fokszáma pontosan 3?

Igaz

Hamis

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Az A, B, C, D pontok egy paralelogrammát alkotnak, az E pont az átlók metszéspontja.
c) Fejezze ki az \[\vec{AB}\] vektort a \[\vec{DA}\] és \[\vec{DE}\] vektorok segítségével!

\[\vec{AB}\] = \[\vec{DA}\] - 2 \[\vec{DE}\]

\[\vec{AB}\] = - \[\vec{DA}\] + 2 \[\vec{DE}\]

\[\vec{AB}\] = \[\vec{DA}\] - \[\vec{DE}\]

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy ABCD paralelogrammát elhelyeztünk a koordináta-rendszerben. Tudjuk, hogy az AB egyenes egyenlete 2x – 5y = –4, az AD egyenes egyenlete pedig 3x – 2y = –6. A C pont koordinátái (5; 5), a B pont első koordinátája 3.
d) Határozza meg a paralelogramma A, B és D csúcsának koordinátáit!

A(–2; 0), B(3; 2), D(3; 0)

A(–2; 0), B(3; 2), D(0; 3)

A(–3; 0), B(3; 2), D(0; 3)

A(2; 0), B(3; 2), D(0; 3)

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy huszonnyolcas acélszög három forgástestre bontható. A feje egy olyan csonkakúp,
amelynek alapköre 5 mm, fedőköre 2 mm átmérőjű, magassága pedig 1 mm. A szög hengeres része 25 mm hosszú, átmérője szintén 2 mm. Végül a szög hegye egy olyan forgáskúpnak tekinthető, melynek magassága 2,5 mm, alapkörének átmérője pedig 2 mm.
a) Mekkora egy ilyen acélszög teljes hossza? Válaszát 1 tizedesjegy pontossággal adja meg!
Egy szög teljes hossza mm

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A barkácsboltban 10 dkg huszonnyolcas acélszöget kérünk.
b) Körülbelül hány darab szöget kapunk, ha a szög anyagának sűrűsége 7,8 g/cm³?
(Tömeg = sűrűség × térfogat.)
100 gramm szög ≈ darab.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Megkértünk 50 embert, hogy egy barkácsboltban vegyenek egy-egy marék (kb. 10 dkg)
acélszöget ugyanabból a fajtából, majd megszámoltuk, hogy hány darab szöget vásároltak. Az alábbi táblázat mutatja a darabszámok eloszlását.
d) Számítsa ki az 50 adat mediánját és átlagát! Mindkét esetben az osztályközepekkel
(az egyes osztályok alsó és felső határának átlagával) számoljon! Az átlagot 1 tizedesjegyre kerekítve adja meg!

A medián db, az átlag db.

A foglalkozás befejeződött.