Marci szeret az autók rendszámában különböző matematikai összefüggéseket felfedezni. (A rendszámok Magyarországon három betűből és az azokat követő három számjegyből állnak.) Az egyik általa kedvelt típusnak a „prímes” nevet adta: az ilyen rendszámoknál a PRM betűket követő három számjegy szorzata prímszám.

Egy másik típusnak a „hatos” nevet adta: az ilyen rendszámokban a HAT betűket követő három számjegy összege 6.

Egy harmadik típus a „logaritmusos”. Ezek általános alakja: LOG-abc, ahol az a, b és c számjegyekre (ebben a sorrendben) teljesül, hogy $$\log a_{ }b=c$$ . 

A mellékelt ábrán egy kereszt alakú lemez látható, amely 5 db 10 cm oldalú négyzetből áll. A lemezből egy 10 cm alapélű, szabályos négyoldalú gúla hálóját szeretnénk kivágni úgy, hogy a középső négyzet legyen a gúla alaplapja. 
 
a) Igazolja, hogy a lehetséges hálók kivágása során keletkező hulladék legalább 200 cm² , de kevesebb 300 cm² -nél!

Tekintsük az ábrán látható nyolcpontú gráfot.

b) A gráfban véletlenszerűen kiválasztunk két csúcsot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két csúcsot él köti össze a gráfban? 
 
 
 
 

 Tekintsük az ábrán látható nyolcpontú gráfot.
 c) A gráf 9 élét kékre, 3 élét pedig zöldre színezzük. Igazolja, hogy bármelyik ilyen színezésnél lesz a gráfban egyszínű (gráfelméleti) kör! 
 
 
 
 
 

Adott az $$x^2-\left(4p+1\right)x+2p=0$$  másodfokú egyenlet, ahol p valós paraméter.
 
a) Igazolja, hogy bármely valós p érték esetén az egyenletnek két különböző valós gyöke van!

Adott az $$x^2-\left(4p+1\right)x+2p=0$$ másodfokú egyenlet, ahol p valós paraméter.

Adott az $$x^2-\left(4p+1\right)x+2p=0$$  másodfokú egyenlet, ahol p valós paraméter.
 
 c) Határozza meg a p paraméter értékét úgy, hogy az egyenlet gyökeinek négyzetöszszege 7 legyen!

Az északi félteke 50. szélességi körén egy adott napon a nappal hosszát (a napkelte és a napnyugta között eltelt időt) jó közelítéssel a következő f függvénnyel lehet modellezni:
$$f\left(n\right)=-5\cos\left(\frac{n+8}{58}\right)+11,2$$ , ahol n az adott nap sorszámát jelöli egy adott éven belül, f(n) pedig a nappal hossza órában számolva (1 ≤ n ≤ 365, n természetes szám).
Az alábbi ábra a $$g:\left[1;365\right]\to R$$  $$g\left(n\right)=-5\cos\left(\frac{x+8}{58}\right)+11,2$$ függvényt szemlélteti. (A g függvény az f-nek egy folytonos kiterjesztése.)

a) Ha x = 1, akkor $$\left(\frac{x+8}{58}\right)$$ helyettesítési értéke $$\frac{9}{58}$$ 
Adja meg a $$\frac{9}{58}$$ radián értékét fokban mérve!

Adott egy másik, az y = –5,2cos(x) + 11,2 egyenletű görbe, valamint az x = 0, az y = 0 és az x = 2π egyenletű egyenesek. 
 
d) Számítsa ki a görbe és a három egyenes által határolt korlátos síkidom területét!

Az ötöslottó-játékban az első 90 pozitív egész számból kell öt különbözőt megjelölni. A sorsoláson öt (különböző) nyerőszámot húznak ki. (Sem a megjelölés, sem a kihúzás sorrendje nem számít.) Kati a 7, 9, 14, 64, 68 számokat jelölte meg. A sorsoláson az első három kihúzott nyerőszám a 7, a 9 és a 14 volt. Kati úgy gondolja, hogy most nagy esélye van legalább négy találatot elérni.
 
b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a hátralevő két nyerőszám közül Kati legalább az egyiket eltalálja! 

Az egyik játékhéten összesen 3 222 831 lottószelvényt küldtek játékba a játékosok. Az alábbi táblázat mutatja a nyertes szelvények számát és nyereményét (2-nél kevesebb találattal nem lehet nyerni).
 
c) Számítsa ki, hogy mennyi volt a játékosok egy lottószelvényre jutó átlagos vesztesége ezen a héten, ha a játékba küldött szelvények egységára 250 Ft! 

A derékszögű koordináta-rendszerben adottak a P(–2; 0), Q(6; 0) és R(0; 5) pontok, a H pedig a PQ szakasz tetszőleges pontja.
 
b) Számítsa ki a \[\vec{PH}\] és az \[\vec{RH}\] vektorok skaláris szorzatát, ha H(–1,8; 0).

Egy másik étteremben 12 és 14 óra között 3900 Ft befizetéséért annyit eszik és iszik a vendég, amennyit szeretne. A befizetendő összeget egy előzetes felmérés alapján állapították meg. A felmérés során minden vendég esetén összeadták az elfogyasztott étel és ital árát az adott fogyasztáshoz tartozó összes egyéb költséggel. Az összesített költségek alapján osztályokba sorolták a vendégeket aszerint, hogy az étteremnek hány forintjába kerültek. Az alábbi táblázat mutatja a felmérés eredményét. A táblázat első sorában az osztályközepek láthatók.

c) A táblázat értékeivel számolva mennyi a valószínűsége, hogy két (ebédre betérő) vendég együttes fogyasztása veszteséget jelent az étteremnek?
 
(A táblázatba foglalt információkat tekinthetjük úgy, hogy egy véletlenszerűen betérő vendég esetén pl. 0,25 annak a valószínűsége, hogy a vendég 2800 Ft-ba kerül az étteremnek.)

Egy városban a közösségi közlekedést kizárólag vonaljeggyel lehet igénybe venni, minden utazáshoz egy vonaljegyet kell váltani. A vonaljegy ára jelenleg 300 tallér. Az utazások száma naponta átlagosan 100 ezer. Ismert az is, hogy ennek kb. 10%-ában nem váltanak jegyet (bliccelnek). A városi közlekedési társaság vezetői hatástanulmányt készíttettek a vonaljegy árának esetleges megváltoztatásáról. A vonaljegy árát 5 talléronként lehet emelni vagy csökkenteni. A hatástanulmány szerint a vonaljegy árának 5 talléros emelése várhatóan 1000-rel csökkenti a napi utazások számát, és 1 százalékponttal növeli a jegy nélküli utazások (bliccelések) arányát. (Tehát például 310 talléros jegyár esetén naponta 98 000 utazás lenne, és ennek 12%-a lenne bliccelés.) Ugyanez fordítva is igaz: a vonaljegy árának minden 5 talléros csökkentése 1000-rel növelné a napi utazások számát, és 1 százalékponttal csökkentené a bliccelések arányát. A tanulmány az alkalmazott modellben csak a 245 tallérnál drágább, de 455 tallérnál olcsóbb lehetséges jegyárakat vizsgálta.

a) Mekkora lenne a közlekedési társaság vonaljegyekből származó napi bevétele a hatástanulmány becslései alapján, ha 350 tallérra emelnék a vonaljegyek árát?