Fontos tudnivalók
0/0 Pont
1. feladat
0/0 Pont
2. feladat
0/0 Pont
3. feladat
0/0 Pont
4. feladat
0/0 Pont
5. feladat
0/0 Pont
6. feladat
0/0 Pont
7. feladat
0/0 Pont
8. feladat
0/0 Pont
9. feladat
0/0 Pont
Matematika érettségi feladatsor - emelt szint - 2020. május
 
 A gyakorló feladatsor egy korábbi érettségi feladatlap interaktív változata. 

A szükséges számításokat, rajzokat papíron készítsd el! Megengedett segédeszközök: körző, vonalzó, négyjegyű függvénytáblázat, zsebszámológép (másodfokú egyenlet megoldásához, statisztikai lekérdezések esetén külön számolás nélkül használható az eszköz menüje - ha van ilyen). Eredményes felkészülést!

Az érettségi vizsgán a feladatok megoldására 240 perc fordítható
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.


Az {an} számtani sorozat első és harmadik tagjának összege 26, a második és negyedik tagjának összege pedig 130.
 
a) Adja meg a sorozat ötödik tagját!
A sorozat ötödik tagja a5 
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.


A {bn} mértani sorozat első és harmadik tagjának összege 26, a második és negyedik tagjának összege pedig 130.
 
b) Adja meg a sorozat ötödik tagját!
A sorozat ötödik tagja b5  
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Marci szeret az autók rendszámában különböző matematikai összefüggéseket felfedezni. (A rendszámok Magyarországon három betűből és az azokat követő három számjegyből állnak.) Az egyik általa kedvelt típusnak a „prímes” nevet adta: az ilyen rendszámoknál a PRM betűket követő három számjegy szorzata prímszám.


a) Hány különböző „prímes” rendszám készíthető?
  különböző
„prímes” rendszám készíthető.
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Egy másik típusnak a „hatos” nevet adta: az ilyen rendszámokban a HAT betűket követő három számjegy összege 6.


b) Hány különböző „hatos” rendszám készíthető?
 -féle „hatos”
rendszám készíthető.
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Egy harmadik típus a „logaritmusos”. Ezek általános alakja: LOG-abc, ahol az a, b és c számjegyekre (ebben a sorrendben) teljesül, hogy $$\log a_{ }b=c$$ . 


c) Hány különböző „logaritmusos” rendszám készíthető?
    „logaritmusos” rendszám
készíthető. 
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
A mellékelt ábrán egy kereszt alakú lemez látható, amely 5 db 10 cm oldalú négyzetből áll. A lemezből egy 10 cm alapélű, szabályos négyoldalú gúla hálóját szeretnénk kivágni úgy, hogy a középső négyzet legyen a gúla alaplapja. 
 
a) Igazolja, hogy a lehetséges hálók kivágása során keletkező hulladék legalább 200 cm2 , de kevesebb 300 cm2 -nél!


a) Milyen értékek között mozoghat a keletkező hulladék?
a hulladék legalább    cm2 és kevesebb, mint    cm2
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Tekintsük az ábrán látható nyolcpontú gráfot.

b) A gráfban véletlenszerűen kiválasztunk két csúcsot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két csúcsot él köti össze a gráfban? 
 
 
 
 


A keresett valószínűség $$\frac{2}{6}$$ ≈ 0,\[\dot{3}\]
A keresett valószínűség $$\frac{3}{7}$$ ≈ 0,429
A keresett valószínűség $$\frac{1}{7}$$ ≈ 0.142
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

 Tekintsük az ábrán látható nyolcpontú gráfot.
 c) A gráf 9 élét kékre, 3 élét pedig zöldre színezzük. Igazolja, hogy bármelyik ilyen színezésnél lesz a gráfban egyszínű (gráfelméleti) kör! 
 
 
 
 
 


Ha egy n pontú gráfban nincsen kör, akkor legfeljebb n – 1 éle lehet.
Mivel minden csúcs fokszáma páros.
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Adott az $$x^2-\left(4p+1\right)x+2p=0$$  másodfokú egyenlet, ahol p valós paraméter.
 
a) Igazolja, hogy bármely valós p érték esetén az egyenletnek két különböző valós gyöke van!


A diszkrimináns vizsgálatából következik.
Az egyenlethez egyenesállású parabola tartozik.
4p + 1 > 2p
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Adott az $$x^2-\left(4p+1\right)x+2p=0$$ másodfokú egyenlet, ahol p valós paraméter.


b) Ha az egyenlet egyik gyöke 3, akkor mennyi a másik gyöke?
a másik valós
gyök ekkor   
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Adott az $$x^2-\left(4p+1\right)x+2p=0$$  másodfokú egyenlet, ahol p valós paraméter.
 
 c) Határozza meg a p paraméter értékét úgy, hogy az egyenlet gyökeinek négyzetöszszege 7 legyen!


A p paraméter keresett értékei: -0,5 és 0,75
A p paraméter keresett értékei: 0,5 és –0,75
A p paraméter keresett értékei: 0,5 és 0,75
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Az északi félteke 50. szélességi körén egy adott napon a nappal hosszát (a napkelte és a napnyugta között eltelt időt) jó közelítéssel a következő f függvénnyel lehet modellezni:
$$f\left(n\right)=-5\cos\left(\frac{n+8}{58}\right)+11,2$$ , ahol n az adott nap sorszámát jelöli egy adott éven belül, f(n) pedig a nappal hossza órában számolva (1 ≤ n ≤ 365, n természetes szám).
Az alábbi ábra a $$g:\left[1;365\right]\to R$$  $$g\left(n\right)=-5\cos\left(\frac{x+8}{58}\right)+11,2$$ függvényt szemlélteti. (A g függvény az f-nek egy folytonos kiterjesztése.)

a) Ha x = 1, akkor $$\left(\frac{x+8}{58}\right)$$ helyettesítési értéke $$\frac{9}{58}$$ 
Adja meg a $$\frac{9}{58}$$ radián értékét fokban mérve!


≈ 8,18°
≈ 8,89°
≈ 9,78°
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Az északi félteke 50. szélességi körén egy adott napon a nappal hosszát (a napkelte és a napnyugta között eltelt időt) jó közelítéssel a következő f függvénnyel lehet modellezni: $$f\left(n\right)=-5\cos\left(\frac{n+8}{58}\right)+11,2$$ , ahol n az adott nap sorszámát jelöli egy adott éven belül, f(n) pedig a nappal hossza órában számolva (1 ≤ n ≤ 365, n természetes szám). 
 
Az alábbi ábra a $$g:\left[1;365\right]\to R$$ $$g\left(n\right)=-5\cos\left(\frac{x+8}{58}\right)+11,2$$ függvényt szemlélteti. (A g függvény az f-nek egy folytonos kiterjesztése.)




 
 
 
b) Számítsa ki a modell alapján, hogy az év 50. napján milyen hosszú a nappal!
Válaszát óra:perc formátumban, egész percre kerekítve adja meg!
Az 50. napon (körülbelül)   :   óra hosszú a nappal.
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Az északi félteke 50. szélességi körén egy adott napon a nappal hosszát (a napkelte és a napnyugta között eltelt időt) jó közelítéssel a következő f függvénnyel lehet modellezni: $$f\left(n\right)=-5\cos\left(\frac{n+8}{58}\right)+11,2$$ , ahol n az adott nap sorszámát jelöli egy adott éven belül, f(n) pedig a nappal hossza órában számolva (1 ≤ n ≤ 365, n természetes szám). 
 
Az alábbi ábra a $$g:\left[1;365\right]\to R$$ $$g\left(n\right)=-5\cos\left(\frac{x+8}{58}\right)+11,2$$ függvényt szemlélteti. (A g függvény az f-nek egy folytonos kiterjesztése.)




 
 
 
c) Hány olyan nap van egy évben (a modell szerint), amelyik 12 óránál
hosszabb!
  olyan nappal van, amelyik 12 óránál hosszabb.
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Adott egy másik, az y = –5,2cos(x) + 11,2 egyenletű görbe, valamint az x = 0, az y = 0 és az x = 2π egyenletű egyenesek. 
 
d) Számítsa ki a görbe és a három egyenes által határolt korlátos síkidom területét!


-70,37
a terület ≈ 85,21
a terület ≈ 70,37
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.


a) Hány olyan 90-nél nem nagyobb pozitív egész szám van, amely a 2, a 3 és az 5 közül
pontosan az egyikkel osztható?
  ilyen szám van. 
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Az ötöslottó-játékban az első 90 pozitív egész számból kell öt különbözőt megjelölni. A sorsoláson öt (különböző) nyerőszámot húznak ki. (Sem a megjelölés, sem a kihúzás sorrendje nem számít.) Kati a 7, 9, 14, 64, 68 számokat jelölte meg. A sorsoláson az első három kihúzott nyerőszám a 7, a 9 és a 14 volt. Kati úgy gondolja, hogy most nagy esélye van legalább négy találatot elérni.
 
b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a hátralevő két nyerőszám közül Kati legalább az egyiket eltalálja! 


A keresett valószínűség ≈ 0,092
A keresett valószínűség ≈ 0,46
A keresett valószínűség ≈ 0,046
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Az egyik játékhéten összesen 3 222 831 lottószelvényt küldtek játékba a játékosok. Az alábbi táblázat mutatja a nyertes szelvények számát és nyereményét (2-nél kevesebb találattal nem lehet nyerni).
 
c) Számítsa ki, hogy mennyi volt a játékosok egy lottószelvényre jutó átlagos vesztesége ezen a héten, ha a játékba küldött szelvények egységára 250 Ft! 


A szelvény árát is figyelembe véve az egy szelvényre jutó átlagos veszteség 177,7 Ft.
A szelvény árát is figyelembe véve az egy szelvényre jutó átlagos veszteség 154,3 Ft.
A szelvény árát is figyelembe véve az egy szelvényre jutó átlagos veszteség 72,3 Ft.
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.


Az ABCD húrnégyszögben AB = 20, BC = 18, ABC= 70°, CAD= 50°.
 
a) Milyen hosszú a CD oldal, és mekkora a húrnégyszög területe? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!
CD ≈    cm, a terület ≈   .
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
A derékszögű koordináta-rendszerben adottak a P(–2; 0), Q(6; 0) és R(0; 5) pontok, a H pedig a PQ szakasz tetszőleges pontja.
 
b) Számítsa ki a \[\vec{PH}\] és az \[\vec{RH}\] vektorok skaláris szorzatát, ha H(–1,8; 0).


0,36
1,32
– 0,36
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.


c) Adja meg a H pont koordinátáit úgy, hogy a \[\vec{PH}\] és az \[\vec{RH}\] vektorok skaláris szorzata maximális, illetve úgy is, hogy minimális legyen!
A minimális skaláris szorzat a Hmin(  ;   ) ponthoz tartozik, a maximális pedig a Hmax(  ;   ) ponthoz.
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.


Egy étteremben (hatósági engedély birtokában) az érvényes általános forgalmi adótól
(áfa) kismértékben eltérő adókulcsok alkalmazásának hatását vizsgálták az ételek és italok fogyasztására nézve. Az ételek esetében 4%, az italok esetében 30% áfát adtak hozzá
a nettó árhoz, és az így kapott bruttó árat kellett a vendégnek kifizetnie.
A kísérlet első napján az új számítógépes program hibája miatt a számlán éppen fordítva
adták a nettó árakhoz az áfát: az ételek nettó árához 30%-ot, az italok nettó árához pedig
4%-ot számoltak hozzá, és ez a számlán is így, hibásan jelent meg.
Egy család ebben a vendéglőben ebédelt, és a hibás program miatt 8710 Ft-os számlát
kapott. A hibát észrevették, így végül a helyes összeget, 7670 Ft-ot kellett kifizetniük. 
 
a) Hány forint volt az elfogyasztott ételek, és hány forint volt az elfogyasztott italok
helyes bruttó ára?
A helyesen kiállított számla szerinti bruttó ételfogyasztás    Ft, a bruttó italfogyasztás pedig    Ft volt.
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Egy másik étteremben 12 és 14 óra között 3900 Ft befizetéséért annyit eszik és iszik a vendég, amennyit szeretne. A befizetendő összeget egy előzetes felmérés alapján állapították meg. A felmérés során minden vendég esetén összeadták az elfogyasztott étel és ital árát az adott fogyasztáshoz tartozó összes egyéb költséggel. Az összesített költségek alapján osztályokba sorolták a vendégeket aszerint, hogy az étteremnek hány forintjába kerültek. Az alábbi táblázat mutatja a felmérés eredményét. A táblázat első sorában az osztályközepek láthatók.


b) A felmérés eredményét felhasználva számítsa ki, hogy ennek az étteremnek 1000
vendég esetén mekkora a várható haszna!
az étterem várható haszna    Ft.
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
c) A táblázat értékeivel számolva mennyi a valószínűsége, hogy két (ebédre betérő) vendég együttes fogyasztása veszteséget jelent az étteremnek?
 
(A táblázatba foglalt információkat tekinthetjük úgy, hogy egy véletlenszerűen betérő vendég esetén pl. 0,25 annak a valószínűsége, hogy a vendég 2800 Ft-ba kerül az étteremnek.)


A keresett valószínűség 0,125.
A keresett valószínűség 0,1375.
A keresett valószínűség 0,1315.
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Egy városban a közösségi közlekedést kizárólag vonaljeggyel lehet igénybe venni, minden utazáshoz egy vonaljegyet kell váltani. A vonaljegy ára jelenleg 300 tallér. Az utazások száma naponta átlagosan 100 ezer. Ismert az is, hogy ennek kb. 10%-ában nem váltanak jegyet (bliccelnek). A városi közlekedési társaság vezetői hatástanulmányt készíttettek a vonaljegy árának esetleges megváltoztatásáról. A vonaljegy árát 5 talléronként lehet emelni vagy csökkenteni. A hatástanulmány szerint a vonaljegy árának 5 talléros emelése várhatóan 1000-rel csökkenti a napi utazások számát, és 1 százalékponttal növeli a jegy nélküli utazások (bliccelések) arányát. (Tehát például 310 talléros jegyár esetén naponta 98 000 utazás lenne, és ennek 12%-a lenne bliccelés.) Ugyanez fordítva is igaz: a vonaljegy árának minden 5 talléros csökkentése 1000-rel növelné a napi utazások számát, és 1 százalékponttal csökkentené a bliccelések arányát. A tanulmány az alkalmazott modellben csak a 245 tallérnál drágább, de 455 tallérnál olcsóbb lehetséges jegyárakat vizsgálta.

a) Mekkora lenne a közlekedési társaság vonaljegyekből származó napi bevétele a hatástanulmány becslései alapján, ha 350 tallérra emelnék a vonaljegyek árát? 


A napi bevétel 25 000 000 tallér lenne.
A napi bevétel 24 500 000 tallér lenne.
A napi bevétel 25 200 000 tallér lenne.
Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.
Egy városban a közösségi közlekedést kizárólag vonaljeggyel lehet igénybe venni, minden utazáshoz egy vonaljegyet kell váltani. A vonaljegy ára jelenleg 300 tallér. Az utazások száma naponta átlagosan 100 ezer. Ismert az is, hogy ennek kb. 10%-ában nem váltanak jegyet (bliccelnek). A városi közlekedési társaság vezetői hatástanulmányt készíttettek a vonaljegy árának esetleges megváltoztatásáról. A vonaljegy árát 5 talléronként lehet emelni vagy csökkenteni. A hatástanulmány szerint a vonaljegy árának 5 talléros emelése várhatóan 1000-rel csökkenti a napi utazások számát, és 1 százalékponttal növeli a jegy nélküli utazások (bliccelések) arányát. (Tehát például 310 talléros jegyár esetén naponta 98 000 utazás lenne, és ennek 12%-a lenne bliccelés.) Ugyanez fordítva is igaz: a vonaljegy árának minden 5 talléros csökkentése 1000-rel növelné a napi utazások számát, és 1 százalékponttal csökkentené a bliccelések arányát. A tanulmány az alkalmazott modellben csak a 245 tallérnál drágább, de 455 tallérnál olcsóbb lehetséges jegyárakat vizsgálta. 



b) Hány talléros vonaljegy esetén lenne maximális a napi bevétel?
Maximális napi bevétel     talléros vonaljegy esetén lenne.
A foglalkozás befejeződött.

0