Matematika érettségi feladatsor - középszint - 2020. május

A gyakorló feladatsor egy korábbi érettségi feladatlap interaktív változata. A szükséges számításokat, rajzokat papíron készítsd el! Megengedett segédeszközök: körző, vonalzó, négyjegyű függvénytáblázat, zsebszámológép (másodfokú egyenlet megoldásához, statisztikai lekérdezések esetén külön számolás nélkül használható az eszköz menüje - ha van ilyen). Eredményes felkészülést!

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Egy téglatest egy csúcsból kiinduló három élének hossza: 3 dm, 2 dm és 2,5 dm.
Hány négyzetdeciméter a test felszíne?
A test felszíne (dm²).

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Az alábbi ábra egy érettségiző évfolyam diákjainak a halmazát szemlélteti. A jelöli az angol nyelvből, B a biológiából, F pedig a fizikából érettségiző diákok halmazát. Színezze be az ábrának azt a részét, amely azon diákok halmazát jelöli, akik angol nyelvből és biológiából érettségiznek, de fizikából nem!
Válassza ki a jó megoldást!

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

A 2 hányadik hatványával egyenlő az alábbi kifejezés?
$$\frac{2^7\left(2^3\right)^4}{2^5}$$
. hatványa

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Egy nemzetközi konferencia 5 résztvevője áll egy asztal körül a kávészünetben (jelölje őket A, B, C, D, illetve E). Tudjuk, hogy A ismer mindenkit az asztalnál. B nem ismeri E-t, de a többieket ismeri. C két résztvevőt ismer, D pedig hármat. Ábrázolja az ötfős társaság tagjai közötti ismeretségeket egy gráffal (Minden ismeretség kölcsönös.)
Válassza ki a helyes megoldást!

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Adja meg, hogy kiket ismer az asztalnál az E-vel jelölt személy!

A, C és D

A és D

A és B

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)!
A: Ha egy pozitív egész szám osztója 24-nek, akkor osztója 12-nek is.
B: Ha egy pozitív egész szám osztható 12-vel, akkor osztható 6-tal is.
C: Ha egy pozitív egész szám osztható 2-vel és 4-gyel, akkor osztható 8-cal is.

A: igaz B: hamis C: igaz

A: igaz B: igaz C: hamis

A: hamis B: igaz C: hamis

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Ábrázolja a [−1; 2] intervallumon értelmezett $$f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2$$ függvényt! Válassza ki a helyes megoldást!

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Egy több száz fős gimnázium diákjai életkorának eloszlását mutatja az alábbi kördiagram.
Állapítsa meg a diákok életkorának terjedelmét, móduszát és mediánját!
A terjedelem:   (év)
A módusz:   (év)
A medián:   (év)

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Hány olyan egész szám van, amelynek az abszolút értéke kisebb 6-nál?
db ilyen egész szám van.

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Tudjuk, hogy az $$\frac{5}{7}=0,\dot{7}1428\dot{5}$$ végtelen szakaszos tizedes tört.
Adja meg a tizedesvessző utáni századik számjegyet! Válaszát indokolja!
Így a 100. számjegy a .

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Egy háromszög 11 cm hosszú oldalával szemközti szöge 45°-os. Ennek a háromszögnek
van egy 122°-os szöge is.
Hány cm hosszú a háromszög 122°-os szögével szemközti oldala? Válaszát indokolja és egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!
Ebből a = cm.

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Egy mértani sorozat első tagja 0,5 a második tagja 3. Határozza meg a sorozat harmadik
tagját!
a₃ =

Ezeknek a feladatoknak a megoldásához 45 perc áll rendelkezésre.

Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk, majd a dobott számokat (a dobások sorrendjében) balról jobbra egymás mellé írjuk. Így egy háromjegyű számot kapunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kapott háromjegyű szám 500-nál nagyobb lesz? Válaszát indokolja!

A keresett valószínűség: $$\frac{1}{3}$$

A keresett valószínűség: $$\frac{1}{6}$$

A keresett valószínűség: $$\frac{5}{6}$$

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

Az egyenlet megoldása: 2 és −6

Az egyenlet megoldása: 2

Az egyenlet megoldása: −6

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Legyenek f, g és h függvények a valós számok halmazán értelmezve a fentiek szerint.

b) Adja meg annak a függvénynek a betűjelét, amely a (–2)-höz (–1)-et rendel!

h(x)

f(x)

g(x)

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

f(x)=x-1 g(x)=2^xh(x)=|x|-3

c) Töltse ki az alábbi táblázatot az „igaz” és „hamis” szavakkal annak megfelelően, hogy az adott kijelentés igaz vagy hamis az adott függvény esetén! Válassza ki a jó megoldást!

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A 2016-os nyári olimpiai játékok női súlylökés versenyszámának döntője alapján készült
az alábbi, hiányosan kitöltött táblázat, amely az első öt helyezett dobásainak hosszát mutatja. Egy adott versenyző eredménye az érvényes dobásai közül a legnagyobb. A táblázatban az × az érvénytelen dobást jelzi.

Kung Li-csiao 2. dobása (két tizedesjegyre kerekítve): (m).

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A 2016-os nyári olimpiai játékok női súlylökés versenyszámának döntője alapján készült az alábbi, hiányosan kitöltött táblázat, amely az első öt helyezett dobásainak hosszát mutatja. Egy adott versenyző eredménye az érvényes dobásai közül a legnagyobb. A táblázatban az × az érvénytelen dobást jelzi.

Válassza ki a jó adatsor! Az Eredmény (m) oszlop megoldásai, fentről lefelé haladva:

X | 19,84 |19,39 |19,10 | X

20,42 | 20,63 |19,39 |19,87 | 19,35

20,39 | 20,63 |19,39 |19,87 | 19,35

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A 2016-os nyári olimpiai játékok női súlylökés versenyszámának döntője alapján készült az alábbi, hiányosan kitöltött táblázat, amely az első öt helyezett dobásainak hosszát mutatja. Egy adott versenyző eredménye az érvényes dobásai közül a legnagyobb. A táblázatban az × az érvénytelen dobást jelzi.

Válassza ki a jó adatsor! A Helyezés oszlop megoldásai, fentről lefelé haladva:

2. | 1. | 4. | 3. | 5.

2. | 1. | 3. | 4. | 5.

1. | 2. | 4. | 3. | 5.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A 2016-os nyári olimpiai játékok női súlylökés versenyszámának döntője alapján készült az alábbi, hiányosan kitöltött táblázat, amely az első öt helyezett dobásainak hosszát mutatja. Egy adott versenyző eredménye az érvényes dobásai közül a legnagyobb. A táblázatban az × az érvénytelen dobást jelzi.

b) Számítsa ki Márton Anita hat dobásának átlagát és szórását!

Az átlag (m): 19,31 | A szórás (m): 0,72

Az átlag (m): 19,01 | A szórás (m): 0,5184

Az átlag (m): 19,01 | A szórás (m): 0,72

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A súlylökés, mint versenyszám hivatalos leírásában ez szerepel: „A súlylökés a nőknél
4 kg-os, vasból vagy sárgarézből készült, gömb alakú, tömör fémgolyóval történik, melynek átmérője nagyobb, mint 9,5 cm, de kisebb, mint 11 cm.”

c) Hány centiméter a sárgarézből készülő 4 kg-os golyó átmérője, ha 1 cm³sárgaréz tömege 8,73 gramm? Válaszát 1 tizedesjegyre kerekítve adja meg!
A golyó átmérője (2r ≈) cm.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy textilgyár felmérést készített, hogy a vásárlói igényeknek megfelelő arányban gyárthassa le törölközőit. Megkérdeztek 500 járókelőt arról, hogy négy lehetséges szín közül melyik színben vásárolnának legszívesebben ilyen törölközőt. A táblázatban látható a felmérés eredménye.

A gyár a válaszoknak megfelelő arányban határozta meg az egyes színekből készülő törölközők darabszámát.

a) Számítsa ki, hogy hány kék, sárga, piros, illetve zöld törölközőt gyártottak, ha összesen 10 000 darab készült! A darabszámokat százasokra kerekítve adja meg!

A kerekítéssel 3700 kék, 3100 sárga, 2400 piros és 800 zöld színű törölköző készült.

A kerekítéssel 3400 kék, 3000 sárga, 2700 piros és 900 zöld színű törölköző készült.

A kerekítéssel 3500 kék, 3100 sárga, 2500 piros és 900 zöld színű törölköző készült.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Négy kék, két sárga és egy piros törölköző közül (visszatevés nélkül) véletlenszerűen kiválasztunk kettőt.
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét törölköző sárga lesz?

A keresett valószínűség ≈ 0,032

A keresett valószínűség $$\frac{2}{42}=\frac{1}{21}$$ ≈ 0,048

A keresett valószínűség ≈ 0,12

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A textilgyárban dolgozók között tavaly háromszor annyi nő volt, mint férfi. Idén felvettek még 70 nőt és 6 férfit, így már négyszer annyi nő dolgozik a gyárban, mint férfi.
c) Hány nő és hány férfi dolgozója van a gyárnak idén?

Idén 59 férfi és 201 nő dolgozik a gyárban.

Idén 42 férfi és 218 nő dolgozik a gyárban.

Idén 52 férfi és 208 nő dolgozik a gyárban.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy háromszög csúcsai a koordináta-rendszerben A(–8; –12), B(8; 0) és C(–1; 12).
Az A pontnak a B pontra vonatkozó tükörképe a D pont.

a) Számítsa ki a D pont koordinátáit!

D( ; ).

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy háromszög csúcsai a koordináta-rendszerben A(–8; –12), B(8; 0) és C(–1; 12). Az A pontnak a B pontra vonatkozó tükörképe a D pont.

b) Írja fel az ABC háromszög B csúcsán áthaladó magasságvonalának egyenletét!

A magasságvonal egyenlete: 7x + 24y = 28

A magasságvonal egyenlete: 7x - 24y = 56

A magasságvonal egyenlete: 7x + 24y = 56

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy háromszög csúcsai a koordináta-rendszerben A(–8; –12), B(8; 0) és C(–1; 12). Az A pontnak a B pontra vonatkozó tükörképe a D pont.

c) Igazolja, hogy az ABC háromszög B csúcsánál derékszög van!

a Pitagorasz-tétel vagy a Thalesz-tétel miatt

a Pitagorasz-tétel megfordítása vagy a Thalesz-tétel miatt

a szögfelező-tétel miatt

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Az A, B és C pontokat szeretnénk a kék, zöld és sárga színekkel színezni úgy, hogy mindhárom pontot színezzük valamelyik színnel, de egy színezésen belül nem használjuk fel
mindhárom színt.

d) Hány különböző színezés lehetséges ezekkel a feltételekkel?

Két színnel különböző színezés létezik.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy erdészetben azt tervezték, hogy 30 nap alatt összesen 3000 fát ültetnek el úgy, hogy a
második naptól kezdve minden nap 2-vel több fát ültetnek el, mint az azt megelőző
napon.

a) Hány fát kellett elültetni az első napon, és hány fát kellett elültetni a 30. napon a terv
teljesítéséhez?

Az első napon $$a_1$$ = , a 30. napon pedig $$a_{30}$$ = fát kellett elültetni a terv teljesítéséhez.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

A telepítés után egy évvel három szempontból vizsgálják meg a telepített fák állapotát. Ha valamelyik nem fejlődik megfelelően, akkor az N jelet kapja. Ha fertőző betegség tünetei mutatkoznak rajta, akkor a B jelet, ha pedig valamilyen fizikai kár érte (pl. a szél megrongálta), akkor az F jelet kapja. Egy fa több jelet is kaphat.
Az összes jelölés elvégzése és összesítése után kiderült, hogy a telepített 3000 fa közül N jelet 45, B jelet 30, F jelet 20 fa kapott. Ezeken belül N és B jelet 21, N és F jelet 13, B és F jelet 4 fának adtak. 2 olyan fa van, amely mindhárom jelet megkapta.
b) Válassza ki a megfelelő halmazábrát!

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy erdő faállománya az elmúlt időszakban évről évre 3%-kal növekedett. A faállomány
most 10 000 m³.

c) Hány év múlva éri el az erdő faállománya a 16 000 m³
-t, ha az továbbra is évről évre
3%-kal növekszik? Válaszát egészre kerekítse!
kb. év múlva éri el a faállomány a 16 000 m³-t.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Egy sétálóutca díszburkolatát ötszög alapú egyenes hasáb alakú kövekkel készítik el. A kő alapját képező ABCDE ötszög tengelyesen szimmetrikus (egy, a D csúcson átmenő egyenesre), négy oldala 10 cm hosszú, három szöge 120°-os, az ábrának megfelelően.

a) Számítással igazolja, hogy az AED és a BCD háromszög derékszögű!

A Thalesz-tételből következik

A Pitagorasz-tételből következik

A szabályos sokszögek belső szögösszegéből következik.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

b) Számítsa ki az ABCDE ötszög területét egészre kerekítve!
T_ABCDE = cm²

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Róbert egy járdaszakaszt egyedül 20 óra alatt burkolna le ezzel a kővel, Sándor ugyanazt a munkát egyedül 30 óra alatt végezné el.

c) Mennyi idő alatt végeznek, ha együtt dolgoznak?

Együtt 15 óra alatt végeznek a feladattal.

Együtt 12 óra alatt végeznek a feladattal.

Együtt 25 óra alatt végeznek a feladattal.

Amennyiben elakadnál a feladat megoldásával, a mellékelt videóban láthatsz ötleteket.

Ezt a követ szürke és sárga színben árulják a kereskedésben. A dobozokon matrica jelzi a dobozban lévő kövek színét. Átlagosan minden századik dobozon rossz a matrica: szürke helyett sárga vagy fordítva. (Ezt tekinthetjük úgy, hogy 0,01 annak a valószínűsége, hogy rossz matrica került a dobozra.)
Péter kiválaszt 21 szürke jelzésű dobozt, és ellenőrzi a dobozokban lévő kövek színét.

d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a 21 kiválasztott doboz közül legalább 20 dobozban valóban szürke kő van?

A keresett valószínűség: ≈ 0,8097

A keresett valószínűség: ≈ 0,9524

A keresett valószínűség: ≈ 0,9815

A foglalkozás befejeződött.